LOGIKA
Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Aturan logika memberikan makna yang tepat untuk pernyataan matematika. Aturan-aturan ini digunakan untuk membedakan antara argumen matematika yang valid dan tidak valid.

PROPOSISI
Proposisi merupakan pernyataan atau kalimat deklaratif yang benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

EXAMPLE
  • Harimau lebih besar dari hamster.
Kalimat di atas merupakan sebuah pernyataan dan proposisi yang bernilai benar (true). 

  • 1995 > 2002

Kalimat di atas merupakan sebuah pernyataan dan proposisi yang bernilai salah (false).

  •  x > 0

Kalimat di atas merupakan sebuah pernyataan tetapi bukan proposisi karena nilai dari x yang belum ditentukan dan bisa berubah-ubah. Akibatnya, nilai kebenarannya (true or false) belum bisa ditentukan. Pernyataan jenis ini disebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. 

  • Tolong untuk tidak bermain HP selama kelas berlangsung

Kalimat di atas bukan sebuah pernyataan maupun proposisi, melainkan sebuah kalimat permintaan. Hanya kalimat pernyataan yang bisa menjadi sebuah kalimat proposisi. Sehingga, nilai kebenarannya pun tidak bisa ditentukan.

  • x, y jika dan hanya jika y > x

Kalimat di atas merupakan kalimat pernyataan dan proposisi yang bernilai benar (true). Walaupun nilai x dan y tidak diketahui, kalimat tersebut masih bisa ditentukan benar dan salahnya karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. 

[SEK GAPAHAM]

  • 13 + x = 17

Kalimat di atas merupakan kalimat pernyataan tetapi bukan proposisi karena nilai x nya tidak diketahui sehingga belum bisa ditentukan nilai kebenarannya. 


CONCLUSION
Proposisi adalah kalimat berita. Proposisi juga bisa dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ...


EXAMPLE
p : Shua adalah orang Amerika.
q : 17 termasuk bilangan prima.
r : 5 x 10 = 50

KOMBINASI PROPOSISI
Semisal p dan q adalah proposisi :
  1. Konjungsi (Conjunction) : p dan q = p Î› q
  2. Disjungsi (Disjunction) : p atau q = p V q
  3. Ingkaran (Negation) dari p : tidak p = ~p
p dan q disebut proposisi atomik. Kombinasi dari p dan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition). 

EXAMPLE
Diketahui proposisi berikut :
p : Dia memiliki mobil.
q : Dia bisa mengendarai mobil.

Dalam bentuk simbolik :
  1. Dia memiliki mobil dan bisa mengendarainya = p Î› q
  2. Dia memiliki mobil tetapi tidak bisa mengendarainya = p V q
  3. Dia tidak memiliki mobil dan tidak bisa mengendarainya = ~(p Î› q)
  4. Tidak benar bahwa dia tidak memiliki mobil atau tidak bisa mengendarainya = ~(~p V ~q)
  5. Dia memiliki mobil, atau dia tidak memiliki mobil dan bisa mengendarainya = p V (~p Î› q)
  6. Tidak benar bahwa dia tidak memiliki mobil maupun bisa mengendarainya = ~(~p V q)

TABEL KEBENARAN INGKARAN (NEGATION)


Ingkaran mengubah variabel yang ada menjadi bermakna sebaliknya. Sehingga, bila variabel p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Bila p bernilai salah, maka ingkaran dari p bernilai benar.

TABEL KEBENARAN KONJUNGSI (CONJUNCTION)


Apabila kedua variabel yang ada sama-sama bernilai benar, maka "p dan q" tentu bernilai benar. Namun, bila salah satu atau bahkan kedua variabelnya bernilai salah, maka "p dan q" bernilai salah karena salah satu variabelnya tidak memenuhi.

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI (DISJUNCTION)


Berbeda dengan konjungsi yang bernilai benar hanya bila kedua variabelnya benar, disjungsi bisa bernilai benar walaupun salah satu variabelnya bernilai salah. 


PROPOSISI MAJEMUK
Tautologi = Proposisi majemuk dimana semua kasusnya bernilai benar
Kontradiksi = Proposisi majemuk dimana semua kasusnya bernilai salah


EKIVALEN
Dua buah proposisi majemuk p dan q  disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik. 
Notasi : P (p, q, ...) ↔  Q (p, q, ...)
Contoh hukum De Morgan : ~(P Î› Q) = ~P  v ~Q



HUKUM-HUKUM LOGIKA or HUKUM-HUKUM ALJABAR POSISI



QUESTION : ALJABAR POSISI
  1.   Tunjukkan bahwa p v ~(p v q) dan p v ~q  keduanya ekivalen secara logika!
  2.   Buktikan hukum penyerapan p Λ (p v q) ↔ p

ANSWER : ALJABAR POSISI

1.   p v ~(p v q)  ↔  p v (~p Î› ~q)            hukum De Morgan 
                           ↔  (p v ~p) Î› (p v ~q)    hukum Distributif  
                           ↔  T Î› (p v ~q)              hukum Negasi
                           ↔  p v ~q                       hukum Identitas

2.  p Λ (p v q) ↔ (p v F) Λ (p v q)           hukum Identitas 
                       ↔ p v (F Λ q)                    hukum Distributif  
                       ↔ p v F                              hukum Null 
                       ↔ p                                    hukum Identitas 


EXERCISE 1
Diberikan pernyataan "Tidak benar bahwa dia belajar pemrograman tetapi tidak belajar Algoritma".
  1. Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika)
  2. Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut 

ANSWER 1
Misalkan, p : dia belajar pemrograman
                 q : dia belajar Algoritma
Maka,
  1. ~(p Î› ~q)
  2. ~(p Î› ~q)  ↔  ~p v q          Hukum De Morgan 
Dengan kata lain, "Dia tidak belajar pemrograman atau belajar Algoritma".








 ↓↓↓  :